ТЕОРИЯ

12 тем — первая часть ЕГЭ по математике — Определение → Формулы → Пример → Практика.

#1 ВЫЧИСЛЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Задачи на арифметику: дроби, проценты, распределительный закон. Ответ — всегда число.

ФОРМУЛЫ:

a·(b + c) = a·b + a·c — распределительный закон

a% от b = a/100 · b

a/b + c/d = (a·d + c·b) / (b·d)

ПРИМЕР:

Найдите значение: 3,8 · 6,5 + 3,8 · 3,5

Вынесем 3,8 за скобку: 3,8 · (6,5 + 3,5) = 3,8 · 10 = 38

Ответ: 38

#2 СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ

Логарифм log_a(b) = c означает: a^c = b. То есть «в какую степень возвести a, чтобы получить b».

ФОРМУЛЫ:

log_a(b·c) = log_a(b) + log_a(c)

log_a(b/c) = log_a(b) − log_a(c)

log_a(b^n) = n · log_a(b)

a^(m/n) = ⁿ√(a^m)

ПРИМЕР:

Найдите значение log₂(32)

2^? = 32. Считаем: 2⁵ = 32. Значит log₂(32) = 5

Ответ: 5

#3 ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ

Линейные (ax + b = 0), квадратные (ax² + bx + c = 0), показательные (a^x = b) и логарифмические.

ФОРМУЛЫ:

x = (-b ± √D) / 2a, где D = b² − 4ac

Если D > 0 → два корня, D = 0 → один, D < 0 → нет корней

a^x = b → x = log_a(b)

ПРИМЕР:

Решите: x² − 5x + 6 = 0

D = 25 − 24 = 1. x₁ = (5+1)/2 = 3, x₂ = (5−1)/2 = 2

Ответ: 2 и 3

#4 ВЕРОЯТНОСТЬ

Вероятность P = число благоприятных исходов / общее число исходов. Всегда от 0 до 1.

ФОРМУЛЫ:

P(A) = m/n — классическая формула

P(A и B) = P(A) · P(B) — для независимых событий

P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B)

P(не A) = 1 − P(A)

ПРИМЕР:

В коробке 6 красных и 4 синих шара. Вероятность красного?

Всего: 6 + 4 = 10. P = 6/10 = 0,6

Ответ: 0.6

#5 СЛОЖНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Тригонометрические (sin x = a), иррациональные (√f(x) = a), с модулем (|f(x)| = a).

ФОРМУЛЫ:

|f(x)| = a → f(x) = a или f(x) = −a

√f(x) = a → f(x) = a², a ≥ 0, f(x) ≥ 0

sin x = a → x = (-1)ⁿ arcsin(a) + πn

ПРИМЕР:

|2x − 3| = 7

2x − 3 = 7 → x = 5. Или 2x − 3 = −7 → x = −2

Ответ: −2 и 5

#6 ПЛАНИМЕТРИЯ

Задачи на плоские фигуры: треугольники, четырёхугольники, окружности.

ФОРМУЛЫ:

Теорема Пифагора: a² + b² = c²

S треугольника = ½ · a · h

S круга = πr², длина окружности = 2πr

Сумма углов треугольника = 180°

ПРИМЕР:

Катеты прямоугольного треугольника 3 и 4. Найдите гипотенузу.

c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. c = 5

Ответ: 5

#7 ПРОИЗВОДНАЯ

Производная f'(x) показывает скорость изменения функции. Геометрически — наклон касательной.

ФОРМУЛЫ:

(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹

(sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x

(eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x

(f·g)' = f'·g + f·g' — произведение

ПРИМЕР:

f(x) = x³ − 3x. Найдите f'(2).

f'(x) = 3x² − 3. f'(2) = 3·4 − 3 = 12 − 3 = 9

Ответ: 9

#8 СТЕРЕОМЕТРИЯ

Задачи на объёмные фигуры: куб, параллелепипед, цилиндр, конус, шар.

ФОРМУЛЫ:

V куба = a³, V параллелепипеда = a·b·c

V цилиндра = πr²h, V конуса = ⅓πr²h

V шара = 4/3 · πr³, S шара = 4πr²

Диагональ параллелепипеда: d = √(a²+b²+c²)

ПРИМЕР:

Объём куба 27. Найдите ребро.

a³ = 27. a = ³√27 = 3

Ответ: 3

#9 ТРИГОНОМЕТРИЯ

Преобразования с sin, cos, tg. Основное тождество: sin²α + cos²α = 1.

ФОРМУЛЫ:

sin²α + cos²α = 1

sin(30°) = ½, cos(60°) = ½

sin(45°) = cos(45°) = √2/2

tg α = sin α / cos α

ПРИМЕР:

Найдите sin²(30°) + cos²(30°)

По основному тождеству: sin²α + cos²α = 1 для любого α

Ответ: 1

#10 ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ

Задачи с формулами из физики, экономики. Подставь числа в формулу и посчитай.

ФОРМУЛЫ:

S = v · t (путь = скорость × время)

F = m · a (сила = масса × ускорение)

Стоимость = фиксированная часть + переменная · количество

ПРИМЕР:

Такси: 100р посадка + 20р/км. Поездка 8 км. Сколько?

100 + 20 · 8 = 100 + 160 = 260

Ответ: 260

#11 ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Задачи на движение, работу, смеси, проценты. Составь уравнение из условия.

ФОРМУЛЫ:

Движение: S = v · t, встречное: v₁ + v₂, вдогонку: v₁ − v₂

Работа: A = P · t (производительность × время)

Смеси: масса вещества = концентрация × масса раствора

ПРИМЕР:

Из A в B — 120 км. Скорость 60 км/ч. Сколько часов?

t = S/v = 120/60 = 2 часа

Ответ: 2

#12 MIN/MAX ФУНКЦИЙ

Найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке через производную.

ФОРМУЛЫ:

1. Найти f'(x), приравнять к 0 → критические точки

2. Проверить f(x) в критических точках И на концах отрезка

3. Выбрать наибольшее или наименьшее

ПРИМЕР:

f(x) = x² − 4x + 7 на [0, 5]. Найти min.

f'(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2. f(0)=7, f(2)=3, f(5)=12. Min = 3

Ответ: 3